- ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI
1. AçıortayHerhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir.
Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir.
Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.
AOB bir açı,
[OC açıortay
m(AOC) = m(COB)
|AC| = |CB|
AOC ve BOC eş
üçgenler olduğundan
|OA| = |OB|
2. İç Açıortay BağıntısıABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin
[BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan
olur .....
(1) ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde
[AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir.
olur .....
(2)[AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den
olur
ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla
Buradan
ve
b.y=c.x eşitlikleri de elde edilir.
3. İç Açıortay UzunluğuABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay
uzunluğuna nA dersek
4. Dış Açıortay BağıntısıABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.
5. Dış Açıortay UzunluğuABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna
n'A dersek
6. İç açıortayla dış açıortay arasındaki açım(DAE)=90°
ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için
2a + 2b = 180°
a + b = 90° dir.
[DA] ^ [AE]
- Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir.
P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir. Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur.
- ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞNTILARI
1. Ağırlık MerkeziÜçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına
ağırlık merkezi denir.
ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının
kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi
denir.
a. Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler.
ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların
orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise
eşitlikleri vardır.
b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir.
c. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve
|AG| = 2|GD| olduğundan G noktası
ağırlık merkezidir.
d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG|
olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.
e. ABC üçgeninde
|AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|
eşitliğini sağlayan G noktası ABC
üçgeninin ağırlık merkezidir.
2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay
|AG|=|DC|=|BD|
3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar a.Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.
b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.
c. G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.
4.ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse
|AK| = 3x
|KG| = x
|GD| = 2x eşitlikleri bulunur.
K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.
[FE] //[BC]
2[FE]=[BC]
a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde
şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.
b.Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür.
5. Kenarortay UzunluğuABC üçgeninde A köşesinden çizilen
kenarortayın uzunluğuna Va dersek
Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.
Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa
Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa
6. Dik Üçgende KenarortaylarA açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında