Matematik Tarihçesi 4

ESKİ MISIRLILARDA GEOMETRİ



Eski Mısır'da görülen geometri bilgileri, yüzey ve hacim hesapları
olarak karşımıza çıkmak-tadır. Mısırlılar, kare ve dikdörtgen
alanlarını, doğru bir şekilde hesaplayabiliyorlardı. Düzgün olmayan bir
yüzeyin planını ise, dörtgenleştirme yoluyla elde ediyorlardı. Üçgen
alanı bilgi-sinden hareket ederek de, yamuğun alanını elde ediyorlardı.
Mısırlıların; üç boyutlu cisimler-den; silindir, koni, piramit,
dikdörtgen prizma ve kesik prizma hacimlerini de bildikleri
anlaşıl-maktadır. Kesik piramidin hacminin hesaplanması, zamanın
geometrisi için son derece ö-nem taşımaktadır.


Aydın Sayılı; adı geçen eserinde konu ile ilgili geniş bilgi verdikten
sonra şunları yazar: "Mısırlılar' ın, aritmetiklerinde olduğu gibi
geometri problemlerinin çözümünde de, tamamıyla somut özel hallerin ele
alınmasından ileri gidilmiyor. Karşılaşılan bütün örneklerde ortak bir
vasıf Mısır geometrisinde genel formül kavramının mevcut olmayışıdır.
Zihinde bir nevi genel formül fikri ve belli genellemeler vardı. Açı
geometrisi mevcut değildi. Bunun yanında doğru geometrisi gelişmiş
durumdaydı." Burada doğru geometrisi ile ölçü için; sadece doğruları
kullanan ve açı kavramına başvurmayan bir geometri kastedilmektedir.
Alan ve hacim hesapları, doğruların yardımıyla yapılmaktadır. En, boy,
taban, dikme, köşegen, çap ve çevre, hem ölçülebilen, hem de ölçüde
aracı rolünü kullanıyordu. Bugünkü ifadeyle; 45 derecenin, bazı
trigonometrik özelliklerini de bildikleri anlaşılmaktadır.


Burada akla şöyle bir soru gelmektedir; Mısırlılar, ilkel geometri
bilgisi diyebileceğimiz, ama bugünkü geometrinin temel bilgilerini,
hangi ihtiyaçları sonucu ortaya koymuşlardır? Bilindiği gibi; Nil
Irmağının mevcudiyeti, Mısır'ın günlük hayatı için son derece
önemlidir. Bu ırmağın taşmasıyla, su altında kalan arsaların sık sık
ölçülmesi, kaybolan ya da zarara uğrayan arsanın ölçüsünün doğru olarak
tespiti ve vergi miktarlarının da buna göre belirlenmesi gerekmektedir.
Mısır mezar lahitlerinin, piramitlerin, tahta işlerinin estetik
bakımdan üstünlük sağlaması, hem çalışmaların ihtiyacından doğmuş ve
hem de, zaman için var olan ölçü tekniği ile, basit de olsa, bu
ölçülerin hesaplama tekniğinin kısmen ileri derecede olmasıdır.




ESKİ YUNAN'DA GEOMETRİ



Eski Yunan matematikçilerinden Demokrit'te, gelişmiş bir geometri
bilgisi görülmektedir. Ancak kaynaklar; Demokrit'in Eski Mısır
matematiği ile temasta olduğunda hemfikirdir. Thales, ikizkenar üçgenin
taban açılarının eşit olduğunu bildiği, ancak üçgenin iç açılarının 180
derece olduğu yolundaki bilgilerin Thales'e ait olmadığı anlaşılmıştır.
Pisagor, geometri çalışmalarında, güney İtalya'da Kroton'da okullar
açmış ve geometrinin gelişmesini sağlamıştır. Öklid, Elementler adlı
geometri kitabını yazmakla ün yapmıştır. Bu eserdeki geometri bilgileri
2000 yıl kadar, fazla bir değişikliğe uğratılmadan, geometri
derslerinde okutulmuştur. Bu eserin, bazı kısımlar günün ihtiyaçlarına
cevap vermek için, 1700 yılından itibaren modernleştirilmiştir. Bugünkü
geometride bilinen birçok bilgiler, Elementler'de vardır.


Kaynaklar; geometrinin önce Eski Mısır'da başladığını, Eski
Yunanlılar'ın geometriyi Eski Mı-sır'dan öğrenmiş olduklarını
belirtmektedir. Tarihçi Herodot (M.Ö. 485-425), geometrinin Eski
Mısır'da başladığını ve arazi ölçüsü ihtiyacından doğmuş olduğunu
belirtir. Aydın Sayılı: "Bunun gerçeğe uygun olduğunu, yani bölge bir
menşeden başlayarak, geometrinin Eski Mısır'-da bir ilim haline
geldiğini kabul edebiliriz" der. Eski Yunanlılar'ın, matematikte ve
özellikle geometri bakımından, Eski Mısırlılar'dan geniş şekilde
yararlanmış oldukları anlaşılmıştır. Bu durumda, Eski Yunanlılara
atfedilen geometri bilgileri hakkında şu görüşü belirtebiliriz:


Eski Yunanlılar, Eski Mısır yörelerini uzun yıllar dolaşmışlar. Bu
yöreleri ilk dolaşan ve Eski Yunan'ın ilk bilgini sayılan Talestir
(M.Ö. Miletes 640 ? - 548 ?) .Tales'ten sonra Pisagor'un ve Öklid'in bu
yöreleri uzun yıllar dolaştıkları tarihi bir gerçektir. Bu bilginler,
buralardan elde ettikleri geometri bilgilerini almışlardır. Ayrıca,
geometriyi sistemli ispatlara dayanan müstakil bir bilim haline
getirmişlerdir. Eski Yunanlıların başarısı, geometriyi sistemleştirip,
müstakil bir matematik dalı haline getirmiş olmalarıdır.




MEZOPOTAMYALILARDA GEOMETRİ


Mezopotamya matematiği hakkındaki bilgiler, zamanımıza kadar intikal
etmiş tabletlerin değerlendirilmesi sonucu elde edilmektedir. Bu
tabletler bilim tarihinde; Susa, Vatikan 8512, Tell Halman, Plimpor 322, British Museum 85114 ve Elam tabletleri şeklinde adlandırılmıştır. Aşağıdaki resimde bu tabletlerden bir örneği görebilirsiniz.


Mezopotamya matematiği ile ilgili kil tabletlerden herhangi biri.
Kare ve köşegenleri ile özellikleri. Zamanın çivi yazısı iledir.



Bugün, Tales Teoremi olarak bilinen teoremin varlığı, Tales'ten 1700
yıl ve Öklid'ten 2000 yıl kadar önce biliniyordu. Bu bilgiye esas olan
kaynak tabletteki geometrik resim, gayet doğru ve güzel şekilde
çizilmiştir.
Aydın Sayılı; adı geçen eserinde, Susa
tabletlerine dayanarak: Tales Teoremlerinin nasıl ortaya çıktığını
belirtir. Bu teoremlerin, Öklid tarafından bilindiğini ve Elementler
adlı eserinin, 6. ve 8. teoremler olarak açıklandığını yazar.
Kaynaklardan
şu sonucu çıkarmaktayız. Bugünkü klasik geometri veya Eski Yunan
geometrisinin temsilcileri olarak görülen, Tales,Fisagor ve Öklid'e
dayalı geometri bilgilerinin temelinde Mezopotamya matematiği
bulunmaktadır. Başka bir ifade ile; Mezopotamyalılar tarafından, bu
geometri bilgileri, Eski Yunan matematikçilerinden, çok önceki yıllarda
bilinmekte olduğu anlaşılmaktadır. Aydın Sayılı, bu konuda adı geçen
eserinde, belirgin örnekler verdikten sonra şunları yazar ;

"Mezopotamyalıların, açıkladığımız bu bilgilere, ya da mahiyeti ne
olursa olsun, bunlara denk olan bilgilere sahip olmaları
gerekmektedir." Başka bir yerde de : "Mezopotamya geometrisi ile bazı
müşterek vasıflara sahip olması hiç de imkansız olmasa gerek." Konunun
en büyük otoritelerinden Neugebaur'un yorumlanmış şekline göre,
yukarıdaki sonucu alabilmeleri için, Mezopotamyalıların aşağıdaki temel
bilgilere sahip olmuş olmaları gerekmektedir;

1) Kirişin çevreye uzaklığını veren doğru parçasının uzantısı çemberin merkezinden geçer.
2) Bu doğru parçası kirişe diktir ve kirişi ortalar.
3) Çapı gören çevre açısı diktir.
4) Aynı doğruya ayrı ayrı dik olan iki doğru, aralarında paraleldir.
5) Dik üçgenleri için "Thales Teoremi" münasebeti.
6) Pithagoras Teoremi.


Kaynaklar; geometri konusunda şu bilgileri de vermektedir. Çemberi de,
ilk önce 360 dereceye Mezopotamyalıların ayırdığı, bu geleneğin
Mezopotamya menşeli olup Yunanlılara, Mezopotamyalılardan geçtiği
bilinmektedir. Kesik piramidin hacminin ortaya konması ve ispatlanması
geometride önemli bir yer tutar. Mezopotamyalılar, kesik piramit
hacmine ek olarak, piramit hacim formülünü de bilmiş olmaları gerekiyor.

Netice itibariyle, Babilliler, bugün Eski Yunandan beri Fisagor
Bağıntısı diye adlandırılan teoremi biliyorlardı. M.Ö. 18. yüzyıla
(Birinci Babil İmparatorluğu Devri) ait tablette,bugün Fisagor
Bağıntısı dediğimiz : a2 = b2 + c2
formülüyle bağlı; a, b, c gibi sayılar üç sütun üzerine sıralanmış;
birinci sütuna c ikinci sütuna a, üçüncü sütuna da, b gibi sayılar
kaydedilmiş, c lere karşılık olan sayılar belirtilmemiş. Fakat Örneğin;
52 = 42 + 32
ifadesinden ve buna benzer sonuçlardan yararlanmışlardır.

Bu suretle, Pisagor'dan on iki yüzyıl önce, bu gibi sayılara ait
özellikleri bilen Mezopotamyalıların soyut aritmetik problemlerine
dayanarak, sayılar teorisi esasları üzerinde zihni bir merak aşamasına
varmış oldukları anlaşılmaktadır.
Mezopotamya geometrisi
hakkında bir fikir vermek üzere, düzgün olmayan şekillerin alanlarının
nasıl bulunduğu hakkında bir resim aşağıda göstermiştir.





RÖNESANS DÖNEMİ GEOMETRİSİ



Batı'da Geometri araştırmalarına ancak XV. yüzyılın ortalarına doğru
yeniden bir canlanma geldi.Eskiden geometrik şekiller üzerinde ayrı
ayrı özel uygun metotlarla durulur, inceleme yapılırken, yeni bir
anlayışla, genelleme ve soyut inceleme yoluna girilir oldu. Mesela
meşhur teğetler problemi bu açıdan yeni bir metotla ele alındı.
Konikler, Arşimed spirali gibi eğrileri ilgilendiren teğetler, eskiden
beri çok dikkatli, derin, fakat birbirinden farklı görüşlere göre
incelenmekte idi. Daire dışında, daha karmaşık eğriler için yapılacak
teğet tanımının, daire teğetleri için yapılan, "yalnız tek bir ortak
noktası bulunan doğru" tanımından farklı olması gereği anlaşılmıştı. Ve
teğet için "eğri ile ortak tek bir değme noktası bulunan ve bu noktadan
eğri ile kendisi arasında başka hiçbir doğru çizilemeyen doğru" tanımı
kabul edilmişti. Yeni ve artık modern diye nitelendirilecek olan
görüşte ise, genel olarak, teğete eğrinin bir noktası etrafında dönen
bir kesenin limit durumu gözüyle bakılmaya başlanmıştır. Bu görüş ve
tanım özellikle Descartes ve Fermat gibi XVII. yüzyıl matematikçileri
tarafından benimsenerek yararlı hale sokulmuştur.


Bundan başka, şekilleri tamamıyla belirli ve basit olma özelliğiyle
nitelendirmek yerine, yeni matematikçiler, inceleme konusu yapılan
şekle, değişken bir şeklin özel hali gözüyle bak-maya
başlamışlardır.Bir eğriye de, içine çizili ve kenarları gittikçe
küçülen bir poligonun limiti gözüyle bakılma geleneği kuruldu.Rönesans
devri geometrisinin başka karakteristik bir yanı da, geometri
meselelerine yavaş yavaş cebir hesaplamalarının ithal edilişidir. Bu da
görüleceği üzere, Analitik Geometri'nin oluşturulmasına yol
açmıştır.Geometri araştırmaları bakımından bu dönem matematikçileri
arasında kendilerinden özellikle bahsedilmesi gerekli olanlar Vieté ve
Keplerdir. Kepler'in ünü daha çok astronomi konuları üzerindeki
çalışmaları nedeniyledir. Bununla beraber, parabola elipsin limit hali
gözüyle bakma suretiyle geometriye süreklilik kavramını kazandırmasını,
hiperbolü de sonsuzda birbirini kesen iki paralel doğrunun limit hali
olarak tanımlamasını Kepler'in ilgi çekici buluşları arasında saymak
gerekir.






TÜRK -İSLAM DÜNYASINDA GEOMETRİ

Matematiğin;
aritmetik, cebir ve trigonometri dallarında kurucu denecek kadar eser
ortaya koyan, 8. ile 16. Türk-İslam Dünyası alimleri; geometri dalında
da, temel teşkil edecek, zamanı için orijinal ve kıymetini uzun yıllar
koruyan eserler ortaya koymuşlardır.
İlk defa, cebiri
geometriye tatbik etme fikri, ilmi metotlarla çalışan, bu devir
matematikçilerinin eseri olmuştur. Bu durum, geometrinin çok kısa
zamanda gelişmesini sağlamıştır.
Özellikle, Eski Yunan
alimlerinin ortaya koydukları geometri konularını kapsayan eserler,
uzun yıllar anlaşılamamıştır. Ne zaman ki; İslam alimlerinin bu
eserlere yazdıkları yorumlamalar sonucu, Öklid ve çağdaşlarının
eserleri ancak anlaşılabilirlik kazanmıştır. Bunlardan;