Matematik Tarihçesi 3

BİZANS'TA CEBİR



Bazı kaynaklar, Bizans'ta ileri bir matematiğin varlığı hakkında geniş
bilgi verirler. Ortalama 1000 yıllık hayatı olan Bizans'ın, matematik
tarihinde, Eski Yunan matematiğini, ilerletip geliştirmesi bakımından,
pek parlak bir duruma sahip değildi. Bu devir matematikçileri olarak
belirtilen ve aynı zamanda Nikomedya (İzmit) rahibi olan Masimus
Planudes (İzmit 1260 - İstanbul 1310), Dio-fantos' un birinci ve ikinci
kitaplarına dair sadece tefsir yazabilmiştir. M. Planudes'in en çok
bahsedilen eseri, 1300 yılında yazdığı Hint Hesabı'dır. Planudes; bu
eserinde, karekök alma kuralını, Diafantos'un eserini esas almak
suretiyle Hint metodunu tatbik etmiş-ti.


14. yüzyılın ikinci yarısından itibaren, 15. yüzyılın ilk yarısına
kadar (İstanbul'un fethi yıllarına kadar), Bizans matematiğinde bilim
tarihinde isim bırakmış matematikçilere rastlanılmaz. Bu tarihlerde,
siyasal olaylar yüzünden, bilim ihmal edilmiştir. Bu tarihlerin ilginç
bir olayı, İstanbul'da gizli kalmış özel kişisel kitaplıkların dışında,
elyazması ne kadar eser varsa İtalya'ya götürülmüştür. İstanbul'da el
yazmalarına ait hiç bir eser bırakmamışlardır. Givanni Aurispa-'nin
(1369-1460) Bizans'tan Venedik'e 238 el yazması eser götürdüğü tarihi
bir olay olarak bi-linmektedir.

Bizans
matematiğinin durumunu, ayrıntılarıyla incelemiş olan Hamit Dilgan
Matematik Tarih ve Tekamülüne Bir Bakış adlı eserinde şöyle yazar :
"Bizans'ta tam anlamıyla büyük matematikçi yetişmemiştir. Bir çoğunun
eserleri (birkaçı müstesna) mütevazı ve basittir, Hatta bazılarının
eserlerindeki problemlerin, yazarları tarafından anlaşılamadığı
seziliyor... Bütün bu hususlar, Eski Yunan dehasının gerilemiş ve
tükenmiş olduğuna canlı birer örnek teşkil eder. Şu kadar var ki,
Bizans matematiği, aynı devrelerdeki Roma matematiğinden çok daha ileri
bir durumda olmakla beraber, Doğu İslam Dünyası Matematiğine nazaran
çok geri kalmıştı.''




CEBİR'İN AVRUPA'DA GÖRÜLMESİ



Matematik tarihi eserleri; yazılan ilk cebir kitabının Harezmi'nin
el-Kitabü'l Muhtasar fi Hesabi'l Cebri ve'l Mukabele adlı eseri
olduğunu belirtir. Batılı yazarların da belirttikleri gibi, İspanya
yoluyla Avrupa'ya giren ilk cebir kitabı, Harezmi'nin adını
belirttiğimiz eseridir. Bu eserde görülen çözüm yolları, İtalyan
matematikçi, Leonardo Pisano (1170 - 1250) tarafından yazılmış Liner
Abacı (Hesap Metodu) adlı kitap ile 1202 yılında İtalya'ya girmiştir.
Bu eser, Batılı matematikçilerden; Passioli, Tartiaglie ve Cardon'un
çalışmalarına temel eser olmuştur.

Öyle ki, bu
matematikçilerin eserleri incelendiğinde, Harezmi'ye ait izlerin
varlığını görmek mümkündür. Harezmi'nin eseri ile yukarıda adlarını
belirttiğimiz matematikçilerin eserlerini ayrıntılarıyla incelemiş olan
Hamid Dilgan bu konu ile ilgili olarak aynen şunları söyler: "Batılı
yazarlar cebiri, Cebri ve'l Mukabel adlı eserin Latince tercümesinden
öğrenmişlerdir." Ad-nan Adıvar ise bir makalesinde şunları yazar:
"G.Libri tarafından, 1915 yılında New-York'ta yapılan tercümenin eski
Latince nüshanın üzerinde İspanya'da bulunan Sagovia şehrinin adı 1145
yılında yazılı olduğunu belirterek bu tarihe, aynı zamanda Avrupa'da
Cebir'in Doğuş Tarihi olarak bakmak mümkündür."


Harezmi'nin bu eseri, temel eser kabul edilerek bu konuda, Avrupa'da
cebirle ilgili yeni eser-ler yazılmış ve Harezmi adı ile eserinin adı
kısa sürede yayılmaya başlamıştır.




ESKİ HİNT DÜNYASI'NDA CEBİR



İçinde bulunduğumuz yüzyılın araştırmaları; Eski Hint Dünyası'nda
özellikle 6. , 7. , 9. ve 12. yüzyıllarda, matematikle ilgili olarak,
çağının bilgi seviyesinin üst düzeyinde ilginç bilimsel çalışmaların
varlığını ortaya koymuştur. Eserleriyle adları zamanımıza kadar
gelebilen, Hint matematikçileri, bilim tarihinde kendilerini etkin bir
şekilde göstermektedir. Bunlardan belirttiğimiz yüzyıllar içinde
yaşamış olanlardan: Brahmagupta, Aryabatha, Mahavra ve Bhaskara
adlarını belirtebiliriz. Kaynaklar; Brahmagupta'nın Kutakhadyaka adlı
eserinde de, münferit cebir konularının görüldüğünü, ancak bunların
düzenli ve ayrıntılı olarak, cebir konularını kap-sayan sistematik bir
eser olmaktan uzak olduğunu belirtir. Buraya kadar; adlarını
belirttiğimiz; Diofantos'un "Aritmetika" ve Brahmagupta'nın
Kutakhadyaka adlı iki eserde, ikinci derece denklemlerin çizim yoluyla
(geometrik yolla) çözümlerinden bahis olmadığını ve mevcut bilgilerin
de Mezopotamya menşeli olduğunda kaynaklar hemfikirlerdir.





ESKİ MISIRLILARDA CEBİR


İnceleyebildiğiniz kaynaklarda; Mısırlılarda, bugünkü cebirin herhangi
bir şeklinin varlığına dair, kesin bilgiler görülmemektedir. Ancak;
Mısırlılarda, bugünkü cebir konularına benzeyen, oldukça ilkel cebirin
varlığı görülmektedir. Bu konuda a h a h e s a b ı adı verilen bir
hesaplama türüne rastlanılmaktadır. Bu hesaplama türü hakkında, Aydın
Sayılı Mısırlılarda ve Mezopotamyalılarda Matematik, Astronomi ve Tıp
adlı eserinde Berlin ve Rhind Papirüslerine dayanarak şu bilgiyi
vermekte;
A h a kelimesi, grup ya da miktar anlamına
gelmektedir. Böyle adlandırma, bir metot görüşü olarak yapılmış olmakla
beraber, a h a hesaplarında, "Yanlış ve Deneme yoluyla Yoklayarak
çözüm" metodu kullanılmış olduğu görülmektedir. Ayrıca bu usulle, bazı
çözümler cebiri hatırlatıyor. Adı geçen eserde; bu tür hesabın nasıl
yapıldığına dair, açıklamalı iki örnek verildikten sonra; müsteşrik S.
Gantz'a atfen altı örnek belirtmektedir. Bunlar :

1) x/y = 4/3 ; xy = 12

2) xy = 40 ; x = (5/2)y

3) xy = 40 ; x/y = (1/3) + (1/15) = 2/5

4) 10xy = 120 ; y = (3/4)x

5) x2 + y2 = 100 ; y = (3/4)x

6) a2 + b2 = 400 ; a = 2x ; b = (3/2)x


Hemen belirtmek gerekir ki; bu örnekler, Mısırlıların a h a hesabında
yaptıklarının, bugünkü cebrik düşünceye göre düzenlenmiş gösterim ve
tertip şekilleridir.
Yukarıdaki altı tip örnekte
görülebileceği gibi, problemler hep özel durumları temsil ediyor.
Ancak, Aydın Sayılı adı geçen eserinde, bu konuda : "Mısırlı
matematikçinin zihninde belli çözüm yollarının ve genel formüllerin
bulunduğuna şüphe yoktur. Örneğin a h a hesaplarıyla ilgili
papirüslerde, herhangi bir metot söz konusu edilmemesine rağmen,
bunlarda özel bir metoda uyulduğu gayet sarih bir şekilde görülmektedir
... Problemlerin pedagojik amaçlarla bu şekilde tertiplenmiş oldukları
söylenebilir.



ESKİ YUNAN'DA CEBİR



Çoğu kaynaklarda; cebir denildiğinde, Eski Roma çağı Yunan
matematikçisi Diofantos'un (225-400) adından bahsedilir. Diofantos'un
Aritmetika adlı bir eseri mevcut olup, bu eserde sistematik olmamak
üzere, münferit bazı cebir konuları ile birlikte, ikinci derece
denklemlerin çözümü görülmektedir. Ancak, Diofantos devri Yunan
matematiği, bazı harf ve semboller ile ifade edilmekte olduğundan,
Diofatos'un Jukarda adını belirttiğimiz eseri, Harezmi'deki cebir
işaretleri ve sistemlerinin oynadığı rolden mahrum olması bakımından
gerçek anlamda dü-zenli ve disiplinli bir cebir kitabı olmaktan
uzaktır. Kaldı ki; Harezmi'nin Cebri ve'l Mukabele adlı eserinde
görülen çözüm yolları, tamamen geometrik düşüncelerle temellendirilmiş
olup, bu tür sistematik çözümü de, cebire ilk ithal edenin, Harezmi
olduğu son yüzyıl içinde yapılan araştırmalarla ortaya konulmuştur.


Diofantos'ta görülen ikinci derece denklemlerin çözüm metotları,
Mezopotamyalılar'ınkine benzemektedir. Aydın Sayılı adı geçen eserinde
: "Mezopotamyalılarda görülen denklem çözme geleneklerinin,
Diofantos'ta devam ettiği görülmektedir. Demek ki Diofantos'taki
şek-liyle Yunan cebri Mezopotamya cebirirıin hemen hemen, doğrudan
doğruya bir devamını, Abdülhamit İbn-i vasi Türk (? - 847) ile Harezmi
cebri ise tadil edilmiş bir şekildeki devamını teşkil etmektedir."

Gene adı geçen eserde: Öklid'in Elementler adlı kitabında görülen:
(a+b)2 + (a-b)2 = 2 (a2+b2) veya
2(a2+b2) - (a+b)2 = (a-b)2

şeklindeki
özdeşliğin, cebirsel ifadelerin basitleştirilmesi ve çözümlerin kolay
tiplere irca e-dilmesi için, Mezopotamya matematikçileri tarafından
kullanılmış olduğu belirtilir.





MEZOPOTAMYALILAR'DA CEBİR



Eski Mısır (M.Ö. XVIII y.y.) devrine ait papirüslerde, cebir işlemleri
gibi yorumlanması mümkün bazı problemlere rastlanmıştır. Fakat Babil
matematiği M.Ö. 3000'e kadar çıktığından, bu konudaki Mısır bilgisine,
Babil bilimiyle temas neticesinde varılmış olduğu kabul edilmektedir.
Bununla beraber, Babil cebirinin, ne sembolik işaretler yönünden, ne de
özellikle negatif sayılar kavramı itibariyle müstakil bir bilim dalı
olarak kurulmuş bulunduğunu söylemek mümkün değildir. Bu sonuca çok
sonraları varılmıştır. M.S. V. - VI. yüzyıllarda, Hind'de, sıfır
kav-ramıyla birlikte, ilk merhale aşılarak, VIII. yüzyıl ortalarından
itibaren, İslam bilginleri tarafından yüksek bir mertebeye
çıkarılmıştır. Özellikle"El - Cebr v'el Mukabele" adı altında ilk cebir
ki-tabının bir Müslüman Türk bilgini olan El - Harezmi'ye ait
bulunduğunu söyleyebiliriz. Fakat cebirin, daha M.Ö. 3000'lerden
itibaren, Mezopotamya'da var olmuş ve hayli gelişmiş bulunduğu bugün
kabul edilmektedir.

Bugün bir veya çok
bilinmeyenli cebir denklemleriyle çözdüğümüz türden birçok problemlere
Babil tabletlerinde rastlanmıştır. Mesela: Bu tablette, bir
dikdörtgenin eniyle boyunu veren sayılar birbiriyle çarpılır ve bu
sayılar arasındaki fark, bu çarpıma eklenirse 153 elde ediliyor. Aynı
sayılar birbirine eklenirse 27 çıkıyor. Bu şeklin eni, boyu ve
yüzölçümü nedir sorusu soruluyor ve cevap olarak: 20, 7 ve 140
değerleri veriliyor.






TÜRK - İSLAM DÜNYASI'NDA CEBİR



Objektif olarak hazırlanmış, matematik tarihi eserleri incelendiğinde,
açık olarak şu hüküm görülür; Matematiğin geniş bir dalı olan cebire
ait temel bilgilerin büyük bir çoğunluğu, 8. ile 16. yüzyıl Türk -
İslam Dünyası alimleri tarafından ilk olarak ortaya konulmuş ve belli
bir noktaya kadar da geliştirilmiştir.

İslamiyetin Başlangıç Yılları



İslamiyet'in başlangıç yıllarında; dini günlerin tespiti, namaz
vakitlerinin belirlenmesi, takvim hazırlanması gibi dini problemlerle
uğraşılmış olunduğu muhakkak ise de, o devir İslam matematikçilerinin,
arazi ölçüleri, veraset hesapları, yükseklik tayini ve günlük yaşantı
için gerekli pratik ölçme ve hesaplamalar hakkında bazı çalışmaların
varlığı söz konusu olabilir. Hamid Dilgan; Büyük Matematikçi Ömer
Hayyam adlı eserinde bu konuda şunları yazar : "İs-lam matematiği,
ancak hicretin ikinci yüzyıl ortalarında Bağdat'ta doğmuştur." Ancak bu
tarih-ten itibaren, Bağdat'ta kurulan ve bugünkü Üniversitelere benzer
kurum olan Dar-ül Hikme'-de başta matematik olmak üzere, öteki bilimler
hızla gelişmeye başlamıştır.

Gıyasüddin Cemşid ve Cebir


Gıyasuddin Cemşid, aritmetikle ilgili ilmi çalışmalarının yanında,
cebirde yüksek dereceden nümerik denklemlerin yaklaşık çözümlerine,
kendi görüşü olarak ortaya koyduğu orijinal çözüm yolları ile,
etkinliğini zamanımıza kadar sürdürmüştür. Bu konuda; özellikle; ax3 +
x3 = bx tipindeki üçüncü derece denklemlerin çözümünde, zamanı için
yeni olan çözüm yolları ortaya koymuştur.

DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN TARİHSEL GELİŞİMİ



Diferansiyel denklemler konusunda yapılan ilk çalışmalar, 17. yüzyılın
ikinci yarısında, diferansiyel ve entegral hesabın keşfinden (ortaya
çıkmasından) hemen sonra, İngiliz matematikçi Newton (1642-1727) ve
Alman matematikçi Leibnitz (1641-1716) ile başlar. Daha sonraları,
matematik tarihinde büyük isim yapmış olan, İsviçreli matematikçilerden
Bernouilli kardeşlerin, 18. yüzyılda da, Euler, Clairaut, Lagrance, D
Alembert. Charbit, Monge , Laplaca ile 19. yüzyılda da, Chrystal,
Cauchy, Jacobi , Ampere, Darboux, Picard, Fusch ve F.G. Frobenius,
diferansiyel denklemler teorisini, bugünkü ileri seviyeye getiren
matematikçilerdir.

Belli tip diferansiyel
denklemlerin, belli şartlar altında bir çözümlerinin mevcut olmasının
is-patı, diferansiyel denklemler teorisinde varlık teoremi konusunu
teşkil etmekte olup, bu da, ilk olarak 1820 ile 1830 yılları arasında,
Fransız matematikçi A.L. Cauchy tarafından tesis edilmiş ve daha sonra
gelenler tarafından geliştirilmiştir.

Newton ve Diferansiyel Denklem

İngiliz matematikçi Newton (1642-1727), diferansiyel denklemler
üzerindeki çalışmalarına 1665 yılında başlamıştır. 1671 yılında
yayınladığı bir makale ile, diferansiyel denklemleri 3 ayrı sınıfta
göstermiştir. Bunlar :

Birinci Sınıf Diferansiyel Denklemler

Bu sınıfa ayırdıkları, dy/dx tipinde olanlardır. Burada y, x'in bir
fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur.

İkinci Sınıf Diferansiyel Denklemler
Bu sınıfa ayırdıkları, (dy/dx) = f(x , y) tipinde olanlardır.

Üçüncü Sınıf Diferansiyel Denklemler
Bu sınıftaki diferansiyel denklemler ise, kısmi diferansiyel tipinde olanlardır.

Leibniz ve Diferansiyel Denklem

Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716), diferansiyel
denklemler üzerine çalışmalarına 1673 yılında başlamıştır. Bu konudaki
çalışmalarını, 1684 ile 1686 yılları arasında yazdığı Aklaerudilorum
adında bir eseri ile ortaya koymuştur.


Leibniz'in bu eseri, yayınlandığı yıllarda Almanya'da gereken ilgiyi
görmemiştir. Fakat, İsviçre'de, Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler
tarafından, ilgiyle incelenmiştir. 1690 yılında, Jaques Bernouilli bu
konuda önemli bir eser yayınlanmıştır. Yine aynı yıllarda; Leibnitz ve
Bernouilli kardeşler tarafından, diferansiyel üzerinde önemli
araştırmalar yapmışlardır. Yeni çözüm yolları geliştirmişlerdir.
Leibniz 1691 yılında; f (x,y) = f (x.g (y)) şeklinde olan diferansiyel
denklemin çözümünü yapmıştır.

Euler ve Diferansiyel Denklem

Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783), 1728 yılında, diferansiyel
denklemler üzerin-de geniş çalışmalar yapmıştır. Diferansiyel
denklemlerin derecesini düşürme yöntemlerini geliştirmiştir. Seri
çözümleri ve:

(1-x4)-1/2dx + (1-y4)1/2dy = 0

şeklinde olan Abel'in teoreminin cebirsel çözümünü bulmuştur. Bu çözüm, eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamıştır.

Euler'in Denklemi
ai ler sabit olmak üzere, denklemin genel şekli:

a0 xnyn + a1 xn-1yn-1 + ... + an-1 xy + an = q(x)

olan bu denklem, y ye ve türevlerine göre lineerdir, fakat katsayılar değişkendir.